LỜI GIẢI BÀI HÌNH ĐỀ THI IMO 2017 NGÀY 2

Đề bài: Cho R và S là hai điểm phân biệt trên đường tròn sao cho RS không phải là đường kính. Cho là tiếp tuyến tại R của . Lấy điểm T sao cho S là trung điểm của đoạn thẳng RT. Lấy điểm J trên cung nhỏ RS của sao cho đường tròn ngoại tiếp của tam giác JST cắt tại hai điểm phân biệt. Gọi A  là giao điểm gần R nhất của và . Đường thẳng AJ cắt lại tại K. Chứng minh rằng KT tiếp xúc với .

Ta có:

Ta thấy S là trung điểm RT nên từ đây ta lấy P đối xứng với A qua S. Từ đây suy ra ATPR là hình bình hành

Suy ra S, K, P, T đồng viên.
Suy ra: nên KT là tiếp tuyến của nên KT tiếp xúc với .

Đề thi IMO năm nay cả hai ngày chỉ có một bài hình phẳng và nó không khó lắm. Thật ra ý tưởng của bài này là dựng ra hình bình hành không quá xa lạ lắm. Nó xuất hiện rất phổ biến và đặc biệt từ các đề thi các cấp của lớp 9 nên bài này ngay cả học sinh THCS cũng có thể giải được. Sau đây là một số bài toán sau tương tự về mặt ý tưởng:

Bài 1:   (Nguyễn Minh Hà) Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AH,BC. Gọi P,Q lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ N xuống BH,CH.Chứng minh rằng MN đi qua trung điểm của PQ.

Bài 2: Cho nội tiếp (O), trực tâm H, M là trung điểm của BC. AM cắt (O) tại P. Gọi X là điểm đối xứng của P qua M. Trên (O) lấy Q sao cho AQ là đường đối trung của . Chứng minh X là hình chiếu của H lên AM và X là điểm đối xứng của Q qua BC.

Bài 3:  Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm là H. D là điểm trên cung nhỏ BC. Lấy E sao cho ADCE là hình bình hành và K là trực tâm tam giác ACE. Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của K trên BC và AB. Chứng minh rằng: PQ đi qua trung điểm HK.