Tháng Sáu | 2017 | HÌNH HỌC PHẲNG

Đề bài: (Thầy Trần Quang Hùng – HSGS đăng trong Topic ôn thi hình vào cấp 3 – VMF)

Cho tam giác $ABC$ có $D$ nằm trên đoạn $BC$ . $(K),(L)$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ADB,ADC$ . $DR,DQ$ là đường kính của $(K),(L)$ . $P$ thuộc đoạn $KL$ sao cho $DP\perp BC$ . $QP,RP$ lần lượt cắt $BC$ tại $M,N$ . Chứng minh rằng $\angle MAN=\angle BAC$ .

post-118251-0-99640100-1492690212

Lời giải:
Gọi $CV$ là đường kính của $(L)$ . $U$ thuộc $CV$ sao cho $MU\parallel DL$ . Gọi $DP$ cắt $QR$ tại $X$ thì $P$ là trung điểm $DX$ . Ta có $\frac{VL}{UL}=\frac{CL}{UL}=\frac{CD}{MD}=\frac{QV}{MD}=\frac{PV}{PD}=\frac{VP}{PX}$ do đó $XU\parallel PL\parallel QR$ nên $U$ thuộc $QR$ . Từ đó $\angle AUM = \angle AQD=\angle ACD$ do đó tứ giác $AUCM$ nội tiếp. Dễ thấy tam giác $UMC$ cân do tam giác $LDC$ cân nên $AX$ là phân giác ngoài $\angle MAC$ . Tương tự $AX$ cũng là phân giác ngoài $\angle NAB$ nên $\angle MAN=\angle BAC$ .

Nhận xét: Đây là một bài toán khá lạ và rất hay đối với học sinh THCS. Ngoài ra ta có thể sử dụng hàng điểm điều hòa nhưng ở đây phạm vi kiến thức là THCS nên việc dùng như thế không hợp lí.
Tham khảo thêm cách sử dụng hàng điểm: Lời giải khác

Tôi sẽ cố gắng đăng thêm nhiều bài toán hay như thế.

Đề bài: Cho đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Gọi $M,N$ lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ $AB$ và cung nhỏ $BC$ . $AN \cap CM = I$ . Dây $MN$ cắt cạnh $AB$ và $BC$ lần lượt tại $H,K$ .
a) Chứng minh: $C,N,K,I$ đồng viên.
b) Chứng minh: $NB^{2} = NK.NM$ .
c) Chứng minh : $BHIK$ là hình thoi.
d) Gọi $P,Q$ lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác $MBK, MCK$ . Gọi $E$ là trung điểm $PQ$ .Vẽ đường kính $ND$ của đường tròn $(O)$ . Chứng minh: $D,E,K$ thẳng hàng.

a) Do $\angle KNI = \angle ACM =\angle ICK \Rightarrow C,I,K,N$ đồng viên.
b) Vì $\angle NBK = \angle NCK = \angle BMN \Rightarrow \bigtriangleup BKN \sim \bigtriangleup MBN \Rightarrow NB^{2} = MN. NK$
c) Ta có: $KICN$ nội tiếp do đó $\angle HKI = \angle MCN = \angle KHB$ . Do đó $BH // KI$ . Tương tự thì $HI // BK$ . Chú ý $KH$ là phân giác $\angle BKI$ nên $HIKB$ là hình thoi.

d) Bổ đề:Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có $K$ thuộc $BC$ . Gọi $X,Y$ lần lượt là tâm $(ABK), (AKC)$ . Chứng minh rằng $BX$ và $CY$ cắt nhau trên $(O)$ .

bode

Chứng minh: Ta chứng minh trong trường hợp hình vẽ này, các trường hợp khác chứng minh tương tự . Gọi $CY \cap (O) = J \neq C$ . Ta có:
$\angle JBA = \angle JCA = 90^{\circ} - \dfrac{\angle AY C }{2} = \dfrac{180^{\circ}-(360^{\circ}-2 \angle AKC )}{2}=\angle AKC - 90^{\circ} = 90^{\circ} \angle AKB = \angle XBA$
Do đó $B,X,J$ thẳng hàng.

Quay lại bài toán. Ta quy bài toán về chứng minh $DPKQ$ là hình bình hành. Áp dụng bổ đề trên thì $BP$ cắt $CQ$ tại $D'$ trên $(O)$ .

Mà :
$\angle D'BC = 90^{\circ} - \dfrac{ \angle BPK }{2} = 90^{\circ} - \angle KMB =90^{\circ} -\angle KMC = \angle DCB$
Do đó $D \equiv D'$ . Thế nên $\angle DPK = \angle DQK$ . Vậy mà:
$\angle PKQ = 180^{\circ} - \angle PKB - \angle QKC = 180^{\circ} - 2(90^{\circ} -\angle KMC ) = \angle BMC = \angle BDC$
Do đó $DPKQ$ là hình bình hành nên $DK$ đi qua trung điểm $E$ của $PQ$ .