Lời giải một bài toán hình học THCS hay

Đề bài: (Thầy Trần Quang Hùng – HSGS đăng trong Topic ôn thi hình vào cấp 3 – VMF)

Cho tam giác $ABC$ có $D$ nằm trên đoạn $BC$ . $(K),(L)$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ADB,ADC$ . $DR,DQ$ là đường kính của $(K),(L)$ . $P$ thuộc đoạn $KL$ sao cho $DP\perp BC$ . $QP,RP$ lần lượt cắt $BC$ tại $M,N$ . Chứng minh rằng $\angle MAN=\angle BAC$ .

post-118251-0-99640100-1492690212

Lời giải:
Gọi $CV$ là đường kính của $(L)$ . $U$ thuộc $CV$ sao cho $MU\parallel DL$ . Gọi $DP$ cắt $QR$ tại $X$ thì $P$ là trung điểm $DX$ . Ta có $\frac{VL}{UL}=\frac{CL}{UL}=\frac{CD}{MD}=\frac{QV}{MD}=\frac{PV}{PD}=\frac{VP}{PX}$ do đó $XU\parallel PL\parallel QR$ nên $U$ thuộc $QR$ . Từ đó $\angle AUM = \angle AQD=\angle ACD$ do đó tứ giác $AUCM$ nội tiếp. Dễ thấy tam giác $UMC$ cân do tam giác $LDC$ cân nên $AX$ là phân giác ngoài $\angle MAC$ . Tương tự $AX$ cũng là phân giác ngoài $\angle NAB$ nên $\angle MAN=\angle BAC$ .

Nhận xét: Đây là một bài toán khá lạ và rất hay đối với học sinh THCS. Ngoài ra ta có thể sử dụng hàng điểm điều hòa nhưng ở đây phạm vi kiến thức là THCS nên việc dùng như thế không hợp lí.
Tham khảo thêm cách sử dụng hàng điểm: Lời giải khác

Tôi sẽ cố gắng đăng thêm nhiều bài toán hay như thế.